Programa del curso Números, Espacio, Tiempo y Luz

Imparte: Micho Ɖurđevich

Horario: Jueves de 14:00 a 16:00 hrs. Del 21 de Agosto al 4 de Diciembre de 2014. 16 sesiones de 2 horas c/u.

Espacio: Aula teórica B, Escuela Nacional de Pintura, Escultura y Grabado “La Esmeralda”

Resumen

Se trata de  una  introducción experimental a  las  ideas  fundamentales de las matemáticas, que también  manifiestan unos  enlaces  profundos con las principales disciplinas  artísticas: como pintura, escultura, música,  danza, teatro, y medios  informáticos. El  espíritu  del  curso  surge  de la misma  filosofía de simplicidad y conexión  intrínseca de las cosas,  que podemos  encontrar, en multitud de formas,  dentro de la geometría  y la física cuántica. Se verán  conceptos de Infinidad, Número, Simetría, Transformación, Espacio,  Tiempo  y Luz–entrelazados con  varios  ejemplos  de obras  y técnicas artísticas y Fenómenos Cuánticos. Complementando la manera tradicional de transmitir los conocimientos matemáticos, se desarrollar gradualmente un  lenguaje  diagramático-visual, en la resonancia con el enfoque  unificante del curso.

1. Introducción: Matemáticas  Como Arte

A lo largo  de  la  historia  de  la  civilización, transversal al  espectro  de  las sociedades antiguas y modernas,  las 2 disciplinas  profundamente espirituales  y humanas—las artes  y las matemáticas—siempre  han  encontrado contextos  de una mutua inspiración,  motivación y enlace.

En  este  curso,  vamos  a presentar una  selección  de joyas  matemáticas,  que se han formado y cristalizado a lo largo de su desarrollo,  siempre con un fuerte vínculo y enfoque, que proviene del mundo de las artes.  Mediante  este mosaico, se pretenden profundizar, extender  y entrelazar los conocimientos matemáticos y artísticos, conceptos de Infinidad,  Numero, Transformación y Simetría, estudiar fenómenos de Espacio,  Tiempo  y Luz, preguntarse sobre fundamentos como la idea  de parte  y la idea  de objeto,  aprender la visualización en su forma  más amplia,  así como el uso creativo  de nuevos medios informáticos.

Construyendo un techo común y unificante para todas estas cosas, se dará una breve y cualitativa introducción a la Física Cuántica, su hermana gemela la Geometría Cuántica así como a la Teoría de la Relatividad. Se introducirá, en la manera  sistemática, un  nuevo  lenguaje  visual,  que  refleja  desde  principio,  la simplicidad  y conexión intrínseca de las ideas y creaturas, que encontramos en las matemáticas cuánticas.

En  resonancia  con  todo  esto,  a  lo largo  del  curso  se estudiaran diversas obras  artísticas, yéndonos  por el espectro  de las fundamentales disciplinas:  como pintura, escultura, danza,  teatro, música… en la luz de sus innumerables y profundos  enlaces con el universo  matemático.

Pero la causa principal  de la naturaleza inexistente del borde que menciona el título de este curso, es que las matemáticas son una forma de arte.  Quizás una forma de arte medio rara a la primera  vista, pero en el fondo una completamente libre,  simple,  flexible y pura.  Donde  las  ideas  se transforman en el material. Como  números, círculos, triángulos  y cuadrados… Y donde  no solamente  las criaturas matemáticas como tales, sino también su construcción—que es la razón prima  de su existencia—juntas forman  el teatro de las obras artísticas.

2. Objetivos

De los tres objetivos generales del curso, quizás en el primer lugar podemos poner la enseñanza de los fundamentos de arte matemático, siempre en su inseparable unión con otras principales formas de arte. El segundo objetivo, relacionado con el primero, es desarrollar un enfoque cuántico en el pensamiento y las actividades artísticas. El tercer general objetivo es crear un entorno transversal y participativo, para promover la creatividad artística.

Los objetivos particulares del curso son: Conocer principales manifestaciones de números, espacio, tiempo y luz. Conocer la idea de infinidad. Conocer transformaciones y simetría ́ıa. Conocer diferentes formas de pensar, antiguas y contemporáneas, relacionadas con la teoría cuántica. Aprender ver en el arte, las estructuras matemáticas en fondo. Aprender encontrar enlaces entre diferentes obras de arte, y disciplinas artísticas, mediante el lenguaje matemático. Experimentar.

3.     Pre-requisitos, Evaluación y Duración

Aunque  no existen  los requerimientos formales,  es recomendable  que cada participante cuente  con unas ideas básicas sobre los números naturales, raciona- les y reales, incluyendo  operaciones elementales  aritméticas: añadir, restar,  multiplicar  y dividir.  También, es deseable una familiaridad simple con geometría y objetos  fundamentales como triángulos, cuadrados  y círculos. Y quizás se debe tener  una mínima experiencia  en usar  una computadora, en modo gráfico.

Las ideas desarrolladas durante el curso se expondrán en paralelo a través de varias prácticas individuales  y grupales.  La evaluación tendrá múltiples  formas, dependiendo  principalmente de los alumnos.  Una  modalidad seria a través de mini-proyectos creativos,  donde los participantes desarrollen  su propia interpretación  de conceptos  expuestos  en el curso, o bien derivados  de los mismos. Otra modalidad seria mediante un examen  tradicional. Y también, un  importante componente  de la evaluación  es la actividad y desempeño  general  dentro  del curso.

Para la evaluación formal, es indispensable cumplir con 4/5 partes del tiempo, un 80 % de asistencia en las clases.

El curso tiene  4 partes  y cada  parte  se dividirá aproximadamente en 4 semanas,  una  clase de 2 horas  por semana.

4.     Plan Académico

4.1.     Infinidad, y Nacimiento de  Números  y Plano

Todas  las matemáticas son fundamentadas sobre la idea de la Infinidad.  Se comenzará con una discusión general sobre el concepto, y reflexiones en las obras de literatura y artes.  Definir objetos infinitos es más simple que definir lo finito. Siguiendo una idea del matemático Georg Kantor, la infinidad se introducirá como la representabilidad completa del objeto,  dentro  de su propia  parte.  ¿Y que significa decir ‘parte’ de algo, después de todo,  que es ‘objeto’ ?

Lo finito  viene como algo más  complicado—todo lo que no es infinito.  Se observará la apariencia  de números naturales en este contexto  de ‘suburbio  del paraíso’,  los arquetipos de la finitud. . . Veremos varias  clases de números:

 

  • Cero y Uno, Dos, Tres; Cuatro;
  • Primos  y compuestos;  Infinidad  e inherente caocidad  de números primos;
  • Triangulares y cuadráticos; Perfectos  y no-tan-perfectos;
  • Números enteros,  racionales,  irracionales,  reales;
  • Imposible  i; Plano  de números complejos; Numero π y Círculos;
  • Polígonos regulares  y números de Fermat;

 

Luego veremos también: Dibujos que revelan cálculos con números. Triángulos y círculos como ejemplos principales.  Teorema  de Pitágoras. Espiral  y serie geométrica. Otras  curvas interesantes. Razón aurea Φ y demostración visual de su irracionalidad. Cálculos de módulos, y aritméticas y geometrías bebés. Fractales,  como objetos  no-estándares que ilustran  la idea de la infinidad  mediante su naturaleza cuántica. Función zeta ζ de Riemann  y formula  ζ (2) = π2 /6.

Todo  esto  nos llevará al  establecimiento de una  metodología  visual,  cuya abstracción y generalización  en forma de todo un lenguaje cuántico,  ser ‘a el sello del curso.

Actividades: Perfección  de Círculo en Caos de los Primos.  Varios dibujos con  círculos y triángulos,  empacamiento de  círculos. Demonstraciones con  el sistema  Quetzal.  Ventanas de Apolonio.

4.2.     Segunda Parte: Espacio

Esta  parte  comenzar primarios: con las superficies, estableciendo  la serie de ejemplos:

  • Plano  Euclidiano;
  • Esfera; Torus;
  • Banda  de Moebius; Botella  de Klein;

Luego platicaremos sobre geometrías no-Euclidianas: Geometría Hiperbólica,  Modelo  de  Poincaré, idea  de  horizonte  del  espacio,  diferencias  entre  horizontes  Euclidianos  e  Hiperbólicos.  Límites  de  cirulos,  de  Maurits   Cornelis Escher, dibujos de Vassily Kandinsky. Geometría Elíptica, Orientabilidad y No- orientabilidad. Una novela de Arthur Clarke.

El espacio 3-dimensional  proporciona  natural inicial entorno  para  visualizar las superficies, al menos localmente, aunque no todas las superficies pueden globalmente  verse así, inmersas en tres dimensiones. La idea de Cielo geométrico- físico, como el horizonte  del espacio 3-dimensional.

Nudos  y sus propiedades  geométricas. Vínculos entre  nudos  y superficies. Ideas  básicas  de  topología. Superficies  de  Riemann.   Característica de  Euler, campos vectoriales,  y teorema  Poincaré  Hopf. Superficie quartica de Klein y sus propiedades, la escultura ‘The Eightfold  Way’ de Helaman  Ferguson.

Más allá de 3 dimensiones.  Concepto  de Hipervisión. Eversiones  de las Esferas.  Primer  encuentro  con la Teoría  de la Relatividad y la interpretabilidad del cielo-esfera como hecha de rayos de luz. Todo esto nos llevará a la pregunta ¿Qué es espacio? Grande  y Pequeño. Idea de espacio cuántico.  Arte de Olvido.

Actividades: Varias  construcciones   involucrando modelos  de superficies, experimentos con campos vectoriales,  y nudos.

4.3.     Tercera Parte: Transformaciones y Tiempo

La idea principal  para  explorar,  con sus varias  realizaciones,  es de transformación y de simetría. Concepto de grupo. Simetrías en 2 dimensiones. Cuadrado mágico de Albrecht Dürer 4×4, su versión hexadecimal,  y binaria,  sus simetrías y vínculos con superficies, partículas elementales.  Dibujos con colores.

Poliedros  Platónicos en  2, 3 y 4 dimensiones.  Dibujos  y representaciones

3-dimensionales.  Modelos de diversos materiales. Propiedades combinatoriales. Algunos dibujos  de Pablo  Picasso  y de Salvador  Dalí.

Cuerpo  y sus transformaciones. Esculturas cinéticas de Theo Jansen.  Propiedades  transformacionales de espacio 3-dimensional.  Nuestro  entrelazamiento intrínseco con  el Cielo,  y espinores.  Grupo  SO(3)  y visualización de  espacio proyectivo  3-dimensional.  Transformaciones celestiales  versus transformaciones terrestres.

Programa de Erlangen  de Felix Klein—reconstruir la geometría por sus simetrías. Ejemplos  de 3 geometrías: Euclidiana, Hiperbólica  y Elíptica.

Objetos  imposibles. Triangulo de Oscar Reutersvard y Roger Penrose,  artistas de lo imposible. La posibilidad  de lo imposible, como la guía para la creación de contextos  matemáticos.

Números cuaterniónicos y números octoniónicos. Simetrías celestiales de poliedros Platónicos 3-dimensionales  llevan a poliedros Platónicos 4-dimensionales.

Lenguaje  universal  de dibujos  para  expresar  simetrías. Filosofía  cuántica. Trenzas  y grupo de trenzas.  Permutaciones versus trenzas.

Introducción a la teoría de categorías. ¿De qué material  son hechas creaturas matemáticas? ¿La verdad  importa el material? Representando tiempo  en una categoría. Tiempo  cuántico.

Actividades: Mini-proyectos involucrando dibujos,  escultura, temporalidad y nuevos medios. El video como sucesión de sucesiones finitas, interpretación multidimensional.

4.4.     Cuarta Parte: Luz,  Sombra y Objetos Cuánticos

La principal  tema  de esta  parte  es la geometría cuántica, con su enfoque unificante.  Las ideas ya introducidas y vistas se profundizaran, pintando en más detalle  el marco conceptual con nuevos ejemplos y fenómenos.

Cero y Uno lo contienen  todo.  Sucesiones binarias.  Espacio  de Kantor y su realización  como espacio  de todas  sucesiones  binarias.  Teselaciones  de Penro- se y su encodificación en sucesiones binarias.  Proyección al espacio de Kantor mediante superficies cuánticas conexas. Idea de sombra.  Idea de haz.

Diagramas de Feynmann. Dualismo partícula-onda y breve introducción a la física cuántica mediante diagramas. Colectivo versus individual, estadística reflejada  en propiedades  de los movimientos  individuales  en espacio 3-dimensional. Fuerza  y Substancia, Bosones  y Fermiones.  Poema  de  Jorge  Luis  Borges  sobre  pájaros.  Vínculos entre círculos y fotones.  Idea  de espacio  ‘vivo’. Posible ilustración–fenómeno de sonoluminiscencia  y transformación de sonido en luz.

Entre  existencia  y no-existencia.  Paradoja Einstein-Podolsky-Rosen y objetos como una ilusión. Contextualidad. Ideas y filosofía de Nikola Tesla.

Mas sobre el cielo geométrico-físico como la esfera compleja  hecha de rayos de luz, y la reconstrucción de espacio-tiempo  mediante las ‘ondas’ en el cielo.

La idea de encriptación de una  estructura matemática en un objeto.  Discusión sobre como lo cambiable  se deriva  de lo incambiable, estático, invariante.

Q-Actividades: Varios experimentos con medios digitales y vínculos entre fotografía, video, y audio, utilizando  el sistema Quetzal.  Una excursión a lenguaje de programación LISP.

5.     Agradecimientos

Quisiera  agradecer  a  Olmo  Uribe  por  su  ayuda  y entusiasmo, durante  la preparación de las primeras  versiones de esta propuesta.

La integración  de este  curso,  con los programas  y actividades artísticas y académicas  del Centro  Nacional  de las Artes,  fue posible  gracias  a un  extensivo interés y multidimensional apoyo  por parte  de Ana  Lilia Maciel, Cristina Barragán y Carlos Santiago.

Aunque el curso va en su propia ’modalidad  cuántica’,  recomiendo los siguientes libros como principales  complementarios fuentes  de inspiración y material.

Bibliografía

  • Tere Arcq: Cinco Llaves del Mundo Secreto  de Remedios  Varo/ Llave Esotérica,  Artes  de México (2008)
  • Claude P. Bruter (Ed): Mathematics and Arts—Mathematical Visualisation in Art  and Education, Springer  (2002).
  • Douglas Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid,  Basic Books (1979).
  • Leonard  Euler: Introductio in Analysin  Infinitorum (1800); Introduction to Analysis  of the Infinite  I/II,  Springer-Verlag (1980/1990), Traducción de Latín por John  Blanton.
  • Werner  Heisenberg:  Der  Teil  und  Ganze/La  Parte y el Todo,  Traducción de Alemán por Rocío da Riva Mun˜oz. Ellago Ediciones (2004).
  • David  Hilbert,  Stefan  Cohn-Vossen:  Anschauliche  Geometrie, Berlin  Ver- lag von Julius  Springer  (1932) / Geometry  and  the Imagination, Chelsea Publishing  Company  (1952)
  • Ioannis  Keppleri:  Harmonices Mundi  (1619)  / Harmony  of the  World  in Five Volumes, American  Philosophical Society (1997)
  • Felix  Klein:  Vergleichende  Betrachtungen u¨ber neuere  geometrische  Fors- chungen  (A  comparative review of recent  researches in  geometry)  (1872), Mathematische Annalen,  43 (1893) 63—100.
  • Baruch  de Espinosa:  E´tica Demonstrada Segu´n el Orden  Geom´etrico, Edi- ciones  Orbis/Editora Nacional,  Madrid  (1980).  Traducci´on de Lat´ın por Vidal Pen˜a.
  • Robert   Goldblatt:  Topoi—The   Categorical   Analysis   of  Logic,  Elsevier Science (1984).
  • Wassily  Kandinsky:   Concerning  the  Spiritual   in  Art,  SFA  Publications (2006), Traduccion de Aleman de Michael Sadler.
  • Leonid Ponomarev: The Quantum  Dice, IOP Publishing  (1993). Traducción del Ruso por Alex Repiev.
  • Noel Carroll:  Philosophy  of Art–A  Contemporary Introduction, Routledge (1999).
  • Berhnard Riemann:  On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry, Nature,  8 (1873), 14–17, 36, 37). Traducci´on de Aleman por William King- don Clifford.
  • Tonny  Robbin:  Shadows of Reality—The  Fourth  Dimension  in Relativity, Cubism,  and Modern  Thought,  Yale University  Press  (2006).
  • Micho  D urdevich:  Diagrammatic Formulation  of Multibraided   Quantum Groups,  Contemp  Math  318,  97–106 (2003).
  • Micho Durdevich:  Matemáticas Como Arte Transversal (2014).
  • David Mumford, Caroline Series, David Wright:  Indras’s  Pearls. The Vision of Felix Klein, Cambridge (2002).
  • Doris Schattschneider: M.C.  Escher:  Visions  of Symmetry,  Harry  Abrams (2004).
  • Immanuel  Kant:  Critica  de la Razón  Pura, Edici´on  Bilingue,  Fondo  de la Cultura Económica  (2009). Traducción del Aleman por Mario Caimi.
  • William Lawvere, Stephen  Schanuel:  Conceptual  Mathematics: A First  Introduction to Categories,  Cambridge  University  Press  (2009)
  • Paul  Lockhart:  A Mathematician’s Lament:  How School Cheats  Us Out of Our  Most Fascinating and Imaginative  Art  Form,  Bellevue Literary  Press (2009).
  • Peter  Vergo: That  Divine Order,  Phaidon Press (2005). The Music of Pain- ting:  Music,  Modernism  and  the Visual  Arts  from the Romantics to John Cage, Phaidon Press  (2012).
  • Eugene Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Na- tural  Sciences, Communications in Pure  and Applied Mathematics, 13, #* (1960).